Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042351

Расстояние от вершины $A$ до плоскости $BDC$ — это длина перпендикуляра $AH$ к этой плоскости, то есть высота тетраэдра, опущенная на грань $BCD$.

Рёбра $AB$, $AC$, $AD$ равны. Равные наклонные, проведённые из одной точки, имеют равные проекции, поэтому $HB=HC=HD$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около правильного треугольника $BCD$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$. У нас $a=\sqrt6$:

$$HC=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2.$$

Треугольник $AHC$ прямоугольный с прямым углом при $H$, гипотенуза — ребро $AC=\sqrt6$. По теореме Пифагора:

$$AH^2=AC^2-HC^2=6-2=4,\qquad AH=2.$$

Проверка через объём. Площадь грани $BCD$: $S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{6\sqrt3}{4}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$. Объём правильного тетраэдра $V=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt6}{6\sqrt2}=\sqrt3$. Тогда высота $AH=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\sqrt3}{3\sqrt3/2}=2$ — то же число.