Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042350

Пусть $SABCD$ — пирамида, $O$ — центр основания. По симметрии куб стоит так, что его ось совпадает с высотой $SO$, а верхние вершины лежат на боковых рёбрах.

Половина диагонали основания: $OA=\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=1$. Высота пирамиды по теореме Пифагора в треугольнике $SOA$:

$$SO=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt8=2\sqrt2.$$

Рассмотрю диагональное сечение $SAC$. В нём куб виден прямоугольником: нижняя сторона — диагональ грани куба $a\sqrt2$, высота — ребро $a$. Верхняя вершина куба $P$ лежит на ребре $SA$, на высоте $a$ и на расстоянии $\dfrac{a\sqrt2}{2}$ от оси $SO$.

На высоте $a$ расстояние от оси до ребра $SA$ уменьшается пропорционально: из подобия треугольников оно равно $OA\cdot\dfrac{SO-a}{SO}$. Приравниваю:

$$\dfrac{a\sqrt2}{2}=1\cdot\dfrac{2\sqrt2-a}{2\sqrt2}.$$

Умножаю обе части на $2\sqrt2$:

$$2a=2\sqrt2-a\quad\Longrightarrow\quad 3a=2\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad a=\dfrac{2\sqrt2}{3}.$$

$$3\sqrt2\,a=3\sqrt2\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}=2\cdot2=4.$$

Проверка подстановкой: при $a=\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}943$ половина диагонали грани куба $\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac23$, а расстояние от оси до ребра на этой высоте $\dfrac{2\sqrt2-0{,}943}{2\sqrt2}\approx0{,}667$ — совпадает.