Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042349

Пусть $O$ — центр основания, сторона $a=4\sqrt3$. Возьму меньшую диагональ $AC$; сечение — треугольник $MAC$.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Расстояние от центра до стороны — высота такого треугольника:

$$r=\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{4\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=6.$$

Апофема $10$, отрезок $r$ и высота пирамиды $MO$ образуют прямоугольный треугольник:

$$MO=\sqrt{100-36}=8.$$

Меньшая диагональ: в треугольнике $ABC$ стороны $a$ и угол $120^\circ$, поэтому $AC=a\sqrt3=12$.

Четырёхугольник $OABC$ — ромб со стороной $a$, его диагонали $OB$ и $AC$ перпендикулярны и делятся пополам в точке $T$. Значит, $OT=\dfrac{OB}{2}=\dfrac a2=2\sqrt3$ и $OT\perp AC$.

По теореме о трёх перпендикулярах $MT\perp AC$, то есть $MT$ — высота сечения:

$$MT=\sqrt{MO^2+OT^2}=\sqrt{64+12}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}.$$

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot MT=\dfrac12\cdot12\cdot2\sqrt{19}=12\sqrt{19},\qquad \dfrac{S}{\sqrt{19}}=12.$$

Проверка через боковое ребро: $MA=\sqrt{MO^2+OA^2}=\sqrt{64+48}=\sqrt{112}$. В равнобедренном треугольнике $MAC$ высота $MT=\sqrt{112-6^2}=\sqrt{76}$ — та же.