Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042348

Пусть $SABCD$ — пирамида, $O$ — центр основания. Возьму ребро $SA$ и скрещивающуюся с ним диагональ $BD$.

Диагональ $BD$ перпендикулярна $AC$ (диагонали квадрата) и $SO$ (высота). Значит, $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, где лежит ребро $SA$.

Опущу в плоскости $SAC$ перпендикуляр $OK$ на $SA$. Отрезок $OK$ лежит в плоскости $SAC$, поэтому $OK\perp BD$; и по построению $OK\perp SA$. Значит, $OK$ — общий перпендикуляр к $SA$ и $BD$, и $p=OK$.

Треугольник $SOA$ прямоугольный: $SO=2$, $OA=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$,

$$SA=\sqrt{4+8}=2\sqrt3.$$

$OK$ — высота к гипотенузе. Удвоенная площадь треугольника равна и $SO\cdot OA$, и $SA\cdot OK$:

$$p=OK=\dfrac{2\cdot2\sqrt2}{2\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.$$

$$3\sqrt6\,p=3\sqrt6\cdot\dfrac{2\sqrt6}{3}=2\cdot6=12.$$

Проверка координатами: $S(0;0;2)$, $A(2;2;0)$, $B(-2;2;0)$, $D(2;-2;0)$. По формуле расстояния между скрещивающимися прямыми через смешанное произведение получается $p\approx1{,}633$, и $3\sqrt6\cdot1{,}633\approx12{,}0$.