Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042347

Пусть $SABCD$ — пирамида, $O$ — центр квадрата. Возьму вершину $A$; диагональное сечение, не проходящее через неё, — треугольник $SBD$.

Прямая $AO$ перпендикулярна $BD$ (диагонали квадрата перпендикулярны) и перпендикулярна $SO$ (высота перпендикулярна всему основанию). Прямые $BD$ и $SO$ пересекаются в $O$ и лежат в плоскости $SBD$, значит, $AO$ — перпендикуляр к этой плоскости, и $p=AO$.

$AO$ — половина диагонали квадрата со стороной 4:

$$p=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2.$$

$$\dfrac{p\sqrt2}{2}=\dfrac{2\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=\dfrac{4}{2}=2.$$

Проверка через объём тетраэдра $SABD$. С основанием $ABD$: $V=\dfrac13\cdot\dfrac{4\cdot4}{2}\cdot4=\dfrac{32}{3}$. С основанием $SBD$: $S_{SBD}=\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot4=8\sqrt2$, тогда $p=\dfrac{3V}{S_{SBD}}=\dfrac{32}{8\sqrt2}=2\sqrt2$ — совпадает.