Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042346

Пусть $SABC$ — пирамида, $SO$ — высота, $O$ — центр основания. Проекция бокового ребра $SA$ на основание — отрезок $OA$, радиус описанной окружности $R$.

Треугольник $SOA$ прямоугольный с углом $45^\circ$ при $A$, значит, равнобедренный:

$$R=OA=SO=4.$$

В правильном треугольнике сторона связана с радиусом описанной окружности: $a=R\sqrt3=4\sqrt3$.

Площадь основания:

$$S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot48=12\sqrt3.$$

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot12\sqrt3\cdot4=16\sqrt3.$$

В ответ просят $\sqrt3V$:

$$\sqrt3\cdot16\sqrt3=16\cdot3=48.$$

Проверка другой формулой площади: правильный треугольник состоит из трёх треугольников с вершиной в центре, у каждого две стороны $R$ и угол $120^\circ$: $3\cdot\dfrac12\cdot16\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3$ — то же.