Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042345

Пусть $SABC$ — пирамида, $b$ — её боковое ребро (все боковые рёбра равны, пирамида правильная).

Боковые грани — прямоугольные равнобедренные треугольники с катетами $b$. Сторона основания — их гипотенуза:

$$AB=b\sqrt2.$$

Высота $SO$ падает в центр $O$ правильного треугольника $ABC$, а $OA$ — радиус описанной окружности: для стороны $b\sqrt2$ он равен $\dfrac{b\sqrt2}{\sqrt3}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $SOA$:

$$SO^2=b^2-\dfrac{2b^2}{3}=\dfrac{b^2}{3},\qquad SO=\dfrac{b}{\sqrt3}.$$

По условию $\dfrac{b}{\sqrt3}=2\sqrt3$, откуда $b=6$.

Объём удобно посчитать, «положив пирамиду на бок»: основание — грань $SAB$, высота — ребро $SC$, которое перпендикулярно $SA$ и $SB$, а значит, всей плоскости $SAB$:

$$V=\dfrac13\cdot\dfrac{b^2}{2}\cdot b=\dfrac{b^3}{6}=\dfrac{216}{6}=36.$$

Проверка через правильное основание. Сторона $AB=6\sqrt2$, площадь $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot72=18\sqrt3$, и $V=\dfrac13\cdot18\sqrt3\cdot2\sqrt3=\dfrac{108}{3}=36$ — совпадает.