Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042344

Пусть $SABCD$ — пирамида, $a$ — сторона квадрата-основания, $O$ — центр основания, $M$ — середина стороны $AB$.

Апофема $SM\perp AB$ (боковая грань — равнобедренный треугольник), и $OM\perp AB$. Поэтому угол $SMO$ — линейный угол двугранного угла при основании, $\angle SMO=45^\circ$.

Треугольник $SOM$ прямоугольный с углом $45^\circ$, значит, равнобедренный: высота $SO=OM=\dfrac a2$. Апофема — его гипотенуза:

$$SM=OM\sqrt2=\dfrac{a\sqrt2}{2}.$$

Площадь боковой поверхности — четыре треугольника с основанием $a$ и высотой $SM$:

$$4\cdot\dfrac12\cdot a\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}=a^2\sqrt2=36\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad a^2=36,\ a=6.$$

Высота $SO=\dfrac a2=3$. Объём пирамиды — треть произведения площади основания на высоту:

$$V=\dfrac13\cdot36\cdot3=36.$$

Проверка через проекцию. Боковые грани целиком проецируются на основание, и площадь проекции равна площади грани, умноженной на косинус угла наклона: $S_{\text{осн}}=36\sqrt2\cdot\cos45^\circ=36\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=36$ — совпадает с $a^2=36$.