Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042335

Плоскость $A'BC$ пересекает основание по прямой $BC$. Построю линейный угол при этом ребре.

Опущу из $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $BC$. Ребро $AA'$ перпендикулярно основанию, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $A'H\perp BC$. Угол $A'HA$ — линейный угол между плоскостью $A'BC$ и основанием.

В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны: $AB=CD=2\sqrt3$, $\angle B=\angle D=60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$:

$$AH=AB\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $A'AH$ тангенс угла $A'HA$ — отношение противолежащего катета $AA'$ к прилежащему $AH$:

$$\dfrac{AA'}{AH}=6\quad\Longrightarrow\quad AA'=6\cdot3=18.$$

Высота прямого параллелепипеда — его боковое ребро, она равна 18.

Проверка координатами. Пусть $B(0;0;0)$, прямая $BC$ — ось $Ox$. Тогда $A(\sqrt3;3;0)$: расстояние от $A$ до $Ox$ равно 3. При $AA'=18$ получаем $\operatorname{tg}=\dfrac{18}{3}=6$ — как в условии.