Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042334

Сначала найду высоту призмы, потом построю линейный угол при ребре $AC$.

Прямые $BC$ и $A'C'$ скрещиваются: они лежат в параллельных плоскостях оснований и не параллельны. Ребро $CC'$ перпендикулярно обоим основаниям, а значит, перпендикулярно и $BC$, и $A'C'$, причём $C\in BC$, $C'\in A'C'$. Значит, $CC'$ — общий перпендикуляр этих прямых, и расстояние между ними равно высоте призмы: $BB'=CC'=16$.

Отношение $BP:PB'=3:5$ делит ребро на $3+5=8$ равных частей, и $BP$ — три из них:

$$BP=\dfrac38\cdot16=6.$$

Пусть $K$ — середина $AC$. В правильном треугольнике медиана $BK$ является высотой: $BK\perp AC$. Прямоугольные треугольники $PBA$ и $PBC$ равны по двум катетам, поэтому $PA=PC$, и в равнобедренном треугольнике $APC$ медиана $PK$ тоже высота: $PK\perp AC$. Значит, угол $PKB$ — линейный угол между плоскостями $ACP$ и $ABC$.

Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $\dfrac{a\sqrt3}{2}$:

$$BK=\dfrac{8\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=\dfrac{24}{2}=12.$$

В прямоугольном треугольнике $PBK$ (ребро $BB'$ перпендикулярно основанию):

$$\operatorname{tg}\angle PKB=\dfrac{BP}{BK}=\dfrac{6}{12}=0{,}5.$$

Проверка через площади. $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot(8\sqrt3)^2=48\sqrt3$. $PK=\sqrt{36+144}=6\sqrt5$, $S_{APC}=\dfrac12\cdot8\sqrt3\cdot6\sqrt5=24\sqrt{15}$. Косинус угла $\dfrac{48\sqrt3}{24\sqrt{15}}=\dfrac{2}{\sqrt5}$, тогда $\operatorname{tg}^2=\dfrac54-1=\dfrac14$ и тангенс $0{,}5$ — совпадает.