Задание 2 ЕГЭ по математике №00042327

Скалярное произведение удобно считать для векторов, выходящих из одной точки. Векторы $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{CD}$ такими не являются, поэтому заменю $\overrightarrow{CD}$ противоположным вектором: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$. Тогда

$$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=-DB\cdot DC\cdot\cos\angle BDC.$$

Найду все три величины.

$DC=AB=2$ как противоположные стороны прямоугольника.

Диагональ $DB$ — из прямоугольного треугольника $ABD$ (угол $A$ прямой): катет $AB$ лежит против угла $30^\circ$, значит, он равен половине гипотенузы, и $DB=2AB=4$.

Угол $ADC$ прямоугольника равен $90^\circ$, поэтому $\angle BDC=90^\circ-\angle BDA=90^\circ-30^\circ=60^\circ$, и $\cos60^\circ=\dfrac12$.

$$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CD}=-4\cdot2\cdot\dfrac12=-4.$$

Проверю координатами. Помещу $D$ в начало координат, сторону $DA$ — по оси абсцисс в отрицательную сторону. $AD=DB\cdot\cos30^\circ=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$. Тогда $A(-2\sqrt3;\,0)$, $B(-2\sqrt3;\,2)$, $C(0;\,2)$. Векторы $\overrightarrow{DB}=(-2\sqrt3;\,2)$ и $\overrightarrow{CD}=(0;\,-2)$, произведение $(-2\sqrt3)\cdot0+2\cdot(-2)=-4$ — совпало.