Задание 2 ЕГЭ по математике №00042326

Разберусь с картинкой. Угол $B$ прямой, значит, $AC$ — гипотенуза треугольника $ABC$. Угол $AMB$ тоже прямой, и $M$ лежит на $AC$, значит, $BM$ — высота, опущенная на гипотенузу.

Векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{CM}$ лежат на одной прямой $AC$, но направлены навстречу друг другу: первый идёт от $A$ к $M$, второй — от $C$ к $M$. Поэтому число $x$ отрицательное, а по модулю равно отношению длин:

$$x=-\dfrac{AM}{CM}=-\dfrac{AM}{2}.$$

Найду $AM$. Из прямоугольного треугольника $BMC$ (угол $M$ прямой) по теореме Пифагора:

$$BM^2=BC^2-MC^2=\left(2\sqrt5\right)^2-2^2=20-4=16.$$

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, — среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: $AM\cdot MC=BM^2$. Отсюда

$$AM=\dfrac{BM^2}{MC}=\dfrac{16}{2}=8.$$

Тогда $x=-\dfrac82=-4$.

Проверю $AM$ другим путём. Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё: $BC^2=AC\cdot MC$, то есть $20=AC\cdot2$ и $AC=10$. Тогда $AM=AC-MC=10-2=8$ — совпало. И проверка вектором: $\overrightarrow{AM}$ длины $8$ и $\overrightarrow{CM}$ длины $2$ противоположны, $\overrightarrow{AM}=-4\,\overrightarrow{CM}$.