Задание 2 ЕГЭ по математике №00042325

Угол $ABC$ — это угол при вершине $B$, то есть угол между векторами, выходящими из $B$: $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Координаты вектора — из координат конца вычитаю координаты начала:

$$\overrightarrow{BA}=(1-5;\,2-1)=(-4;\,1),\qquad \overrightarrow{BC}=(6-5;\,5-1)=(1;\,4).$$

Скалярное произведение по координатам — сумма произведений соответствующих координат:

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\cdot1+1\cdot4=-4+4=0.$$

Косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин, — значит, $\cos\angle ABC=0$, и угол прямой: $\angle ABC=90^\circ$.

Проверю по длинам сторон. $AB^2=(-4)^2+1^2=17$, $BC^2=1^2+4^2=17$, $AC^2=(6-1)^2+(5-2)^2=25+9=34$. Выполняется $AB^2+BC^2=17+17=34=AC^2$, и по теореме, обратной теореме Пифагора, угол при вершине $B$ прямой.