Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042317

Обозначу внутренний угол правильного многоугольника $\alpha$, а внешний — $\beta$. Внешний угол смежный с внутренним, поэтому $\alpha+\beta=180^\circ$. По условию $\alpha-\beta=140^\circ$.

Складываю равенства: $2\alpha=320^\circ$, $\alpha=160^\circ$. Тогда $\beta=180^\circ-160^\circ=20^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$, у правильного они одинаковые, поэтому число вершин

$$n=\dfrac{360^\circ}{20^\circ}=18.$$

Сумма внутренних углов восемнадцатиугольника:

$$180^\circ\cdot(18-2)=180^\circ\cdot16=2880^\circ.$$

Проверю другим путём: у правильного многоугольника все $18$ углов по $160^\circ$, сумма $18\cdot160^\circ=2880^\circ$ — совпало. И $160^\circ-20^\circ=140^\circ$, как в условии.