Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042316

У правильного многоугольника все внутренние углы равны, значит, каждый из них равен $150^\circ$.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, а один угол — эта сумма, делённая на $n$:

$$\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}=150^\circ.$$

Умножаю обе части на $n$: $180n-360=150n$. Переношу: $30n=360$, откуда $n=12$.

Проверю через внешние углы. Внешний угол смежный с внутренним: $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна $360^\circ$, у правильного они одинаковые, поэтому вершин $\dfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$ — то же самое.

И подстановкой: у двенадцатиугольника сумма углов $180^\circ\cdot10=1800^\circ$, один угол $\dfrac{1800^\circ}{12}=150^\circ$ — верно.