Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042313

Вписанная окружность касается обоих оснований, а они параллельны. Поэтому расстояние между основаниями — высота трапеции — равно диаметру окружности:

$$h=2\cdot2=4.$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Отсюда полусумма оснований:

$$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{S}{h}=\dfrac{28}{4}=7.$$

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Для трапеции это значит: сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны $c$, поэтому $2c=a+b$, и

$$c=\dfrac{a+b}{2}=7.$$

Проверю, что такая трапеция существует, и пересчитаю площадь. Проекция боковой стороны на основание: $\sqrt{c^2-h^2}=\sqrt{49-16}=\sqrt{33}$. Тогда $a-b=2\sqrt{33}$, а $a+b=14$, откуда $b=7-\sqrt{33}\approx1{,}26\gt0$, $a=7+\sqrt{33}$. Площадь $\dfrac{a+b}{2}\cdot h=7\cdot4=28$ — сходится с условием.