Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042312

Углы трапеции при боковой стороне $AB$ в сумме дают $180^\circ$ (односторонние при параллельных $AD$ и $BC$). Пусть $O$ — точка пересечения $AC$ и $BE$. Биссектрисы берут половины углов, поэтому в треугольнике $AOB$

$$\angle OAB+\angle OBA=\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ,$$

а значит, $\angle AOB=90^\circ$: отрезки $AC$ и $BE$ перпендикулярны.

Посмотрю на треугольник $ABE$. В нём $AO$ — биссектриса угла $A$ и одновременно высота, ведь $AO\perp BE$. Треугольник, у которого биссектриса совпадает с высотой, равнобедренный: $AB=AE$, и $O$ — середина $BE$:

$$BO=OE=\dfrac{4\sqrt5}{2}=2\sqrt5.$$

Теперь треугольник $ABC$. Угол $BCA$ равен углу $CAD$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$), а $\angle CAD=\angle BAC$ по условию. Значит, $\angle BCA=\angle BAC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и его биссектриса $BO$ — также медиана: $O$ — середина $AC$:

$$AO=\dfrac{8\sqrt5}{2}=4\sqrt5.$$

Сторона $AB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $AOB$:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{80+20}=10,\qquad AE=AB=10.$$

Высота трапеции — это высота треугольника $ABE$, опущенная из $B$ на прямую $AD$, где лежит сторона $AE$. Площадь треугольника $ABE$ посчитаю двумя способами. Через $BE$ и перпендикулярный ему отрезок $AO$:

$$S_{ABE}=\dfrac12\cdot BE\cdot AO=\dfrac12\cdot4\sqrt5\cdot4\sqrt5=40.$$

Через основание $AE=10$ и высоту $h$: $\dfrac12\cdot10\cdot h=40$, откуда $h=8$.

Проверю параллельным переносом, как в книге. Проведу $CK\parallel BE$ ($K$ на прямой $AD$). Четырёхугольник $BCKE$ — параллелограмм, $CK=BE=4\sqrt5$, а угол $ACK$ прямой, ведь $CK\parallel BE\perp AC$. Гипотенуза $AK=\sqrt{\left(8\sqrt5\right)^2+\left(4\sqrt5\right)^2}=\sqrt{400}=20$, а высота прямоугольного треугольника $ACK$ из вершины $C$ равна $\dfrac{8\sqrt5\cdot4\sqrt5}{20}=\dfrac{160}{20}=8$ — это и есть высота трапеции. Совпало.