Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042311

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Большее основание $AD=15$ дано, значит, мне нужно найти меньшее основание $BC$.

Все четыре вершины лежат на одной окружности. Пусть её радиус равен $R$. Треугольники $ABD$ и $ABC$ вписаны в эту же окружность, и для каждого работает теорема синусов: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$.

В треугольнике $ABD$ против угла $ABD$ лежит сторона $AD$:

$$2R=\dfrac{AD}{\sin\angle ABD}=15:\dfrac59=15\cdot\dfrac95=27.$$

В треугольнике $ABC$ против угла $BAC$ лежит сторона $BC$:

$$BC=2R\cdot\sin\angle BAC=27\cdot\dfrac13=9.$$

Теперь средняя линия:

$$\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{15+9}{2}=12.$$

Проверю другим способом, не вычисляя радиус. Раз у обоих треугольников одно и то же $2R$, стороны относятся как синусы противолежащих углов: $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{\sin\angle BAC}{\sin\angle ABD}=\dfrac13:\dfrac59=\dfrac35$, откуда $BC=15\cdot\dfrac35=9$ — то же самое. И $9\lt15$, так что $AD$ действительно большее основание, условие не противоречиво.