Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042310

В трапецию вписана окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны: сумма боковых сторон равна сумме оснований. Трапеция равнобедренная, значит, одна боковая сторона равна полусумме оснований — то есть средней линии: $AB=\sqrt{10}$.

Окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между основаниями — высота — равно диаметру: $h=2r$.

Высоту $BH$ найду из прямоугольного треугольника $ABH$, где $\angle A$ — угол при основании. Его синус — из основного тригонометрического тождества:

$$\sin A=\sqrt{1-\dfrac{1}{10}}=\sqrt{\dfrac{9}{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}.$$

$$BH=AB\cdot\sin A=\sqrt{10}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=3.$$

Радиус — половина высоты: $r=\dfrac32=1{,}5$.

Проверю через площадь. Площадь трапеции — средняя линия на высоту: $S=\sqrt{10}\cdot3=3\sqrt{10}$. С другой стороны, площадь описанного многоугольника равна радиусу вписанной окружности, умноженному на полупериметр. Периметр $=2\cdot\sqrt{10}+(\text{сумма оснований } 2\sqrt{10})=4\sqrt{10}$, полупериметр $2\sqrt{10}$, и $r=\dfrac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=1{,}5$ — совпало.

И трапеция существует: $AH=AB\cos A=1$ — это полуразность оснований, так что основания $\sqrt{10}+1$ и $\sqrt{10}-1$ оба положительны.