Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042309

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с большим основанием $AD$, диагональ $AC=10$, $\angle CAD=\alpha$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{10}$.

Сначала одно свойство равнобедренной трапеции. Опущу высоты $BK$ и $CH$ на $AD$. Прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны (гипотенузы $AB=CD$, острые углы при основании равны), поэтому $AK=HD=\dfrac{AD-BC}{2}$. А $KH=BC$. Значит,

$$AH=AD-HD=AD-\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{AD+BC}{2}.$$

То есть $AH$ равен полусумме оснований, и площадь трапеции

$$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CH=AH\cdot CH.$$

Оба катета найду из прямоугольного треугольника $ACH$ с гипотенузой $AC=10$. Синус угла $\alpha$ — из основного тригонометрического тождества:

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{2}{100}}=\sqrt{\dfrac{98}{100}}=\dfrac{7\sqrt2}{10}.$$

$$AH=10\cdot\dfrac{\sqrt2}{10}=\sqrt2,\qquad CH=10\cdot\dfrac{7\sqrt2}{10}=7\sqrt2.$$

$$S=\sqrt2\cdot7\sqrt2=14.$$

Проверю через диагонали. В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC=BD=10$. Треугольник $AOD$ ($O$ — точка пересечения диагоналей) равнобедренный с углами $\alpha$ при основании, поэтому угол между диагоналями $\angle AOD=180^\circ-2\alpha$, и его синус равен $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{7\sqrt2}{10}\cdot\dfrac{\sqrt2}{10}=\dfrac{28}{100}$.

Площадь через диагонали: $S=\dfrac12\cdot10\cdot10\cdot\dfrac{28}{100}=14$ — совпало.