Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042302

У параллелограмма $MPKN$ вершины идут по порядку $M$, $P$, $K$, $N$, поэтому его диагонали — $MK$ и $PN$. Пусть $E$ — точка их пересечения.

Диагональ $KM$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S=2S_{PKM}=PK\cdot KM\cdot\sin\angle PKM$. Известны $PK$ и угол, не хватает диагонали $KM$.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам: $PE=\dfrac{26}{2}=13$, а $KM=2KE$. В треугольнике $PKE$ известны $PK=5\sqrt2$, $PE=13$ и угол $PKE=45^\circ$. Запишу теорему косинусов для стороны $PE$, лежащей против этого угла:

$$PE^2=PK^2+KE^2-2\cdot PK\cdot KE\cdot\cos45^\circ.$$

Подставляю: $PK^2=50$, $2\cdot5\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=10$:

$$169=50+KE^2-10\,KE\ \Rightarrow\ KE^2-10\,KE-119=0.$$

Дискриминант $D=100+4\cdot119=576=24^2$, корни $KE=\dfrac{10\pm24}{2}$, то есть $17$ и $-7$. Длина положительна, поэтому $KE=17$ и $KM=34$.

Площадь:

$$S=PK\cdot KM\cdot\sin45^\circ=5\sqrt2\cdot34\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\cdot34=170.$$

Проверю координатами. Положу $K=(0;0)$, луч $KM$ — по оси абсцисс, $M=(34;0)$. Точка $P$ на расстоянии $5\sqrt2$ от $K$ под углом $45^\circ$: $P=(5;5)$. Середина $KM$ — $E=(17;0)$, тогда $PE=\sqrt{12^2+5^2}=13$ и $PN=26$ — совпадает с условием. Площадь треугольника $PKM$ равна $\dfrac12\cdot34\cdot5=85$, параллелограмма — $170$.