Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042300

Пусть $ABCD$ — параллелограмм с острыми углами при вершинах $A$ и $C$ и тупыми при $B$ и $D$, а $AD$ — большая сторона. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов, это $BD$. По условию $BD\perp AB$, то есть угол $ABD$ прямой.

Высота $BH$ проведена из вершины тупого угла $B$ на большую сторону $AD$ и делит её на отрезки $AH=9$ и $HD=25$. Значит, вся сторона

$$AD=9+25=34\ \text{см}.$$

Площадь параллелограмма равна стороне, умноженной на высоту, проведённую к ней: $S=AD\cdot BH$. Не хватает только высоты $BH$.

Треугольник $ABD$ прямоугольный с прямым углом $B$, а $BH$ — его высота, проведённая к гипотенузе $AD$. Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы:

$$BH^2=AH\cdot HD=9\cdot25=225\ \Rightarrow\ BH=15\ \text{см}.$$

Площадь:

$$S=AD\cdot BH=34\cdot15=510\ \text{см}^2.$$

Проверю другим способом. Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $AB^2=AH\cdot AD=9\cdot34=306$, $BD^2=HD\cdot AD=25\cdot34=850$. Сумма $306+850=1156=34^2$ — теорема Пифагора для $ABD$ выполняется.

Площадь прямоугольного треугольника $ABD$ — половина произведения катетов: $\dfrac12\sqrt{306\cdot850}=\dfrac12\sqrt{260100}=\dfrac{510}{2}=255$. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S=2\cdot255=510$ — совпало.