Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042301

Сторона $AB$ входит в треугольник $ABD$, где уже известны сторона $AD$ и угол $ADB=30^\circ$. Найду ещё один угол этого треугольника.

Стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а $BD$ — секущая. Накрест лежащие углы равны:

$$\angle ABD=\angle BDC=45^\circ.$$

Теперь теорема синусов для треугольника $ABD$: сторона $AB$ лежит против угла $ADB=30^\circ$, а сторона $AD$ — против угла $ABD=45^\circ$:

$$\dfrac{AB}{\sin30^\circ}=\dfrac{AD}{\sin45^\circ}\ \Rightarrow\ AB=\dfrac{4\sqrt2\cdot\dfrac12}{\dfrac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{2\sqrt2}{\dfrac{\sqrt2}{2}}=4.$$

Проверю без теоремы синусов. Опущу из $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $BD$. В прямоугольном треугольнике $AHD$ катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $AH=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$.

В прямоугольном треугольнике $AHB$ угол при $B$ равен $45^\circ$, значит, он равнобедренный: $BH=AH=2\sqrt2$, а гипотенуза $AB=AH\cdot\sqrt2=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4$ — совпало.