Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042303

Для периметра не хватает стороны $AB$. Пусть $M$ — середина $AD$, тогда $AM=MD=5$ и $BM=\sqrt{15}$ — медиана треугольника $ABD$, в котором известны $AD=10$ и $BD=8$.

Квадрат медианы выражается через стороны треугольника: учетверённый квадрат медианы равен удвоенной сумме квадратов двух сторон, выходящих из той же вершины, минус квадрат третьей стороны:

$$4BM^2=2AB^2+2BD^2-AD^2.$$

Подставляю: $4\cdot15=2AB^2+2\cdot64-100$, то есть $60=2AB^2+28$, откуда $AB^2=16$ и $AB=4$.

Периметр:

$$P=2\cdot(AB+AD)=2\cdot(4+10)=28.$$

Проверю, не опираясь на готовую формулу медианы. Углы $AMB$ и $DMB$ смежные, их косинусы отличаются только знаком. Теорема косинусов в треугольниках $ABM$ и $DBM$:

$$AB^2=25+15-2\cdot5\sqrt{15}\cos\angle AMB,\qquad 64=25+15+2\cdot5\sqrt{15}\cos\angle AMB.$$

Складываю: $AB^2+64=80$, $AB^2=16$ — то же. И треугольник $ABD$ со сторонами $4$, $8$, $10$ существует: $4+8=12\gt10$.