Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042296

Пусть $AB=12$ и $CD=16$ — параллельные хорды, $O$ — центр. Проведу через $O$ прямую, перпендикулярную хордам; она пересечёт $AB$ в точке $K$, а $CD$ — в точке $H$.

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: $AK=6$, $CH=8$.

Хорды по разные стороны от центра, поэтому $KH=OK+OH=14$. Обозначу $OH=x$, тогда $OK=14-x$.

Треугольники $AKO$ и $CHO$ прямоугольные, их гипотенузы — радиусы $R$. По теореме Пифагора:

$$R^2=6^2+(14-x)^2,\qquad R^2=8^2+x^2.$$

Приравниваю: $36+196-28x+x^2=64+x^2$, то есть $232-28x=64$, $28x=168$, $x=6$.

Тогда $R^2=64+36=100$, $R=10$.

Проверка: $OK=14-6=8$, и $6^2+8^2=100=R^2$ — первая хорда тоже на окружности. По смыслу: большая хорда ближе к центру ($6\lt 8$), так и должно быть.