Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042291

Задание №1. Планиметрия

Касательная, хорда, секущая

№2. Задание 1

ID: 00042291

Через точку $$K$$ , находящуюся вне окружности радиуса 4, проведена прямая, пересекающая окружность в точках $$L$$ и $$M$$ . Найти расстояние от точки $$K$$ до центра окружности, если известно, что $$KL=4$$ , $$KM=5$$ .

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$d=KO$$ — искомое расстояние. Проведу через $$K$$ и $$O$$ прямую; она пересечёт окружность в точках $$F$$ (ближней к $$K$$ ) и $$E$$ (дальней).

Так как $$K$$ вне окружности, $$KF=d-4$$ , $$KE=d+4$$ (отрезки отличаются от $$d$$ на радиус).

Из точки $$K$$ проведены две секущие: $$KLM$$ и $$KFE$$ . По теореме о секущих произведение расстояний от $$K$$ до двух точек пересечения одинаково для обеих:

$KL\cdot KM=KF\cdot KE,\qquad 4\cdot5=(d-4)(d+4).$

Справа разность квадратов: $$d^2-16=20$$ , откуда $$d^2=36$$ , $$d=6$$ (расстояние положительно).

Проверю способом книги: обозначу $$KF=x$$ , тогда $$KE=x+8$$ (добавляется диаметр). $$x(x+8)=20$$ , $$x^2+8x-20=0$$ , $$D=64+80=144$$ , $x=\dfrac{-8+12}{2}=2$ . Тогда $$KO=KF+FO=2+4=6$$ — совпадает.

По смыслу: $6\gt 4$ , точка $$K$$ действительно вне окружности; ближайшая к $$K$$ точка окружности лежит на прямой $$KO$$ , и $$KF=2$$ меньше $$KL=4$$ — так и должно быть.

Ответ

Другие задания по теме «Касательная, хорда, секущая» (8)