Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042288

$AM$ — медиана, поэтому $M$ — середина стороны $BC$: $BM=MC$. Продолжение медианы до точки $K$ — это хорда $AK$, и она пересекается с хордой $BC$ в точке $M$.

По теореме о пересекающихся хордах $AM\cdot MK=BM\cdot MC$. Так как $BM=MC$, получаю

$$BM^2=18\cdot8=144,\qquad BM=MC=12.$$

Теперь найду $AC$ из подобия. В треугольниках $AMC$ и $BMK$ углы при вершине $M$ равны как вертикальные. Углы $ACB$ и $AKB$ вписанные и опираются на одну дугу $AB$ (точки $C$ и $K$ лежат по одну сторону от хорды $AB$), поэтому они равны.

Значит, $\triangle AMC\sim\triangle BMK$ по двум углам, причём $C\leftrightarrow K$, $M\leftrightarrow M$, $A\leftrightarrow B$. Коэффициент подобия:

$$k=\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{18}{12}=\dfrac32.$$

Сверю его со второй парой сходственных сторон: $\dfrac{MC}{MK}=\dfrac{12}{8}=\dfrac32$ — то же самое.

Сторона $AC$ лежит против угла $M$ в треугольнике $AMC$, ей соответствует сторона $BK$ в треугольнике $BMK$:

$$AC=k\cdot BK=\dfrac32\cdot10=15.$$

Проверка через теорему косинусов. В треугольнике $AMC$: $\cos\angle AMC=\dfrac{18^2+12^2-15^2}{2\cdot18\cdot12}=\dfrac{243}{432}=\dfrac{9}{16}$. Угол $BMK$ равен ему, и в треугольнике $BMK$: $BK^2=12^2+8^2-2\cdot12\cdot8\cdot\dfrac{9}{16}=144+64-108=100$, $BK=10$ — как в условии.