Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042294

Пусть $A$ — вершина угла, $Q$ — центр большей окружности, $D$ — точка её касания с одной из сторон угла, $B$ — точка касания окружностей.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Обе окружности вписаны в один угол, поэтому оба центра на биссектрисе, а точка касания окружностей лежит на линии центров — тоже на биссектрисе. Биссектриса составляет со стороной угол $\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$.

Радиус $QD$ перпендикулярен стороне угла. В прямоугольном треугольнике $ADQ$ катет $QD=23$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза вдвое больше: $AQ=46$.

Меньшая окружность ближе к вершине, поэтому точка касания $B$ лежит между $A$ и $Q$ на расстоянии радиуса $23$ от $Q$: $AB=46-23=23$.

Опущу перпендикуляр $BC$ на ту же сторону угла. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $A$ равен $30^\circ$, катет $BC$ лежит против него и равен половине гипотенузы:

$$BC=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{23}{2}=11{,}5.$$

Проверка через меньшую окружность. Её центр $P$ находится на расстоянии $AP=2r$ от вершины (тот же треугольник с углом $30^\circ$). Окружности касаются внешне, поэтому $AQ-AP=23+r$: $46-2r=23+r$, $r=\dfrac{23}{3}$. Тогда $AB=AP+r=3r=23$ — совпадает с найденным.