Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042290

Окружность пересекает стороны $AB$ и $BC$ во внутренних точках $E$ и $F$, значит, вершина $B$ лежит вне окружности, а лучи $BA$ и $BC$ — секущие.

Обозначу $\angle BAF=\alpha$, тогда $\angle AEC=5\alpha$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $AEC$ опирается на дугу $AC$ (не содержащую $E$), поэтому эта дуга равна $10\alpha$. Угол $BAF$ — это угол $EAF$, он опирается на дугу $EF$, она равна $2\alpha$.

Угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, равен полуразности дуг, которые они высекают на окружности:

$$\angle ABC=\dfrac{10\alpha-2\alpha}{2}=4\alpha.$$

Отсюда $4\alpha=72^\circ$, $\alpha=18^\circ$, и $\angle AEC=5\cdot18^\circ=90^\circ$.

Вписанный угол $AEC$ прямой, значит, он опирается на диаметр: хорда $AC$ — диаметр окружности. Радиус $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac62=3$.

Проверю угол другим способом. Угол $AEC$ — внешний угол треугольника $EBC$ при вершине $E$, поэтому он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle AEC=\angle EBC+\angle ECB$. Угол $ECB$ — это вписанный угол $ECF$, он опирается на ту же дугу $EF$, что и угол $EAF$, значит, равен $\alpha$. Получаю $5\alpha=72^\circ+\alpha$, $\alpha=18^\circ$ — то же самое.