Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042287

Здесь $P_{AKB}$ и $P_{CKD}$ — периметры треугольников $AKB$ и $CKD$. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, и эти два треугольника лежат по разные стороны от неё.

Докажу, что треугольники подобны. Углы $AKB$ и $DKC$ равны как вертикальные. Углы $BAC$ и $BDC$ вписанные и опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому тоже равны. Значит, $\triangle AKB\sim\triangle DKC$ по двум углам.

Сопоставлю вершины по равным углам: $A\leftrightarrow D$, $K\leftrightarrow K$, $B\leftrightarrow C$. Сторона $KB$ лежит против угла $A$, а сторона $KC$ — против равного ему угла $D$, поэтому $KB$ и $KC$ — сходственные стороны.

Коэффициент подобия (во сколько раз треугольник $DKC$ больше треугольника $AKB$):

$$k=\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{30}{12}=\dfrac52.$$

У подобных треугольников каждая сторона умножается на $k$, значит, и их сумма — периметр — тоже:

$$P_{CKD}=k\cdot P_{AKB}=\dfrac52\cdot28=70.$$

Проверю коэффициент другим путём — теоремой о пересекающихся хордах: $AK\cdot KC=BK\cdot KD$, откуда $\dfrac{KD}{AK}=\dfrac{KC}{BK}=\dfrac{30}{12}$. Пара сходственных сторон $AK$ и $KD$ даёт тот же коэффициент $\dfrac52$.

Проверка по смыслу: периметр треугольника больше удвоенной любой его стороны, а в треугольнике $CKD$ есть сторона $30$; $70\gt 60$ — согласуется.