Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042285

Хорды $KM$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Для такой пары работает теорема о пересекающихся хордах: произведения отрезков, на которые точка пересечения делит каждую хорду, равны:

$$KE\cdot EM=CE\cdot ED.$$

Правая часть известна: $CE\cdot ED=6\cdot8=48$.

Обозначу $KE=x$. По условию $KE$ на $8$ меньше $EM$, значит, $EM=x+8$. Подставляю в равенство:

$$x(x+8)=48,\qquad x^2+8x-48=0.$$

Дискриминант: $D=8^2+4\cdot48=64+192=256$, $\sqrt{D}=16$. Корни: $x=\dfrac{-8+16}{2}=4$ и $x=\dfrac{-8-16}{2}=-12$.

Длина отрезка отрицательной быть не может, поэтому $KE=4$, а $EM=4+8=12$.

Точка $E$ лежит на хорде $KM$ между её концами, поэтому $KM=KE+EM=4+12=16$.

Проверка: $KE\cdot EM=4\cdot12=48=6\cdot8$ — равенство теоремы выполнено, и $12-4=8$, как требует условие.