Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042286

Хорды $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $A$. Сначала объясню, почему отрезки хорд связаны.

Соединю $B$ с $C$ и $E$ с $D$. В треугольниках $ABC$ и $AED$ углы при вершине $A$ равны как вертикальные. Углы $ABC$ и $AED$ вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому тоже равны. Значит, треугольники подобны по двум углам, и стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:

$$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}\quad\Longrightarrow\quad AB\cdot AD=AC\cdot AE.$$

Это и есть теорема о пересекающихся хордах. Правая часть: $AC\cdot AE=6\cdot12=72$.

Пусть $AD=x$, тогда $AB=x-1$. Получаю уравнение $(x-1)\cdot x=72$, то есть $x^2-x-72=0$.

Дискриминант: $D=1+4\cdot72=289$, $\sqrt{D}=17$. Корни: $x=\dfrac{1+17}{2}=9$ и $x=\dfrac{1-17}{2}=-8$.

Отрицательная длина не подходит, поэтому $AD=9$, $AB=9-1=8$.

Точка $A$ лежит внутри хорды $BD$, значит, $BD=AB+AD=8+9=17$.

Проверка: $AB\cdot AD=8\cdot9=72=6\cdot12$, и $AB$ действительно на $1$ меньше $AD$.