Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042289

Секущая длиной $12$ — это весь отрезок от внешней точки до дальней точки пересечения с окружностью. Он состоит из внешней части (от точки до окружности) и внутреннего отрезка — хорды.

Обозначу внутренний отрезок через $x$. Тогда внешняя часть секущей равна $12-x$, а касательная равна $\dfrac23x$.

По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$$\left(\dfrac23x\right)^2=12\cdot(12-x).$$

Раскрываю: $\dfrac{4x^2}{9}=144-12x$. Умножаю обе части на $9$: $4x^2=1296-108x$, то есть $4x^2+108x-1296=0$. Делю на $4$:

$$x^2+27x-324=0.$$

Дискриминант: $D=27^2+4\cdot324=729+1296=2025$, $\sqrt{D}=45$. Корни: $x=\dfrac{-27+45}{2}=9$ и $x=\dfrac{-27-45}{2}=-36$. Длина положительна, значит, внутренний отрезок равен $9$.

Касательная: $\dfrac23\cdot9=6$.

Проверка: внешняя часть секущей $12-9=3$, произведение $12\cdot3=36=6^2$ — теорема выполнена. И касательная $6$ лежит между внешней частью $3$ и всей секущей $12$, как и должно быть.