Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042292

Пусть $ABCD$ — трапеция, $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, $AB=CD=17$.

Окружность вписана в трапецию и касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $h=15$.

Проведу высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны (гипотенузы $17$, катеты $15$), и по теореме Пифагора

$$AH=DK=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8.$$

$BCKH$ — прямоугольник, поэтому $BC=HK=AD-8-8=AD-16$.

В четырёхугольник можно вписать окружность, только если суммы его противоположных сторон равны: $AD+BC=AB+CD=34$.

Подставляю $BC$: $AD+AD-16=34$, $2AD=50$, $AD=25$.

Проверка: меньшее основание $BC=25-16=9\gt 0$, и $25+9=34=17+17$. Ещё один путь: средняя линия равна полусумме оснований, то есть $\dfrac{34}{2}=17$, а большее основание длиннее средней линии на $AH=8$: $17+8=25$ — совпадает.