Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042280

Задание №1. Планиметрия

Касательная, хорда, секущая

№2. Задание 1

ID: 00042280

В окружности с центром в точке $$O$$ проведена хорда $$AB$$ и радиус $$OD$$ , которые пересекаются в точке $$C$$ , причем известно, что $AB\perp OD$ , $$OC=9$$ , $$CD=32$$ . Найти хорду.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Радиус $$OD$$ состоит из отрезков $$OC$$ и $$CD$$ : $$OD=9+32=41$$ . Все радиусы равны, поэтому и $$OB=41$$ .

Прямая, проходящая через центр окружности перпендикулярно хорде, делит хорду пополам. По условию $OD\perp AB$ , значит, $$C$$ — середина хорды: $$AC=CB$$ .

Треугольник $$OCB$$ прямоугольный (угол $$C$$ прямой), гипотенуза $$OB=41$$ , катет $$OC=9$$ . По теореме Пифагора:

$CB^2=OB^2-OC^2=41^2-9^2=(41-9)(41+9)=32\cdot50=1600,\qquad CB=40.$

Хорда вдвое длиннее: $AB=2\cdot40=80$ .

Проверю по-другому — через пересекающиеся хорды. Продолжу радиус $$OD$$ до диаметра $$DD'$$ : $$CD'=CO+OD'=9+41=50$$ . Хорды $$AB$$ и $$DD'$$ пересекаются в точке $$C$$ , поэтому $AC\cdot CB=DC\cdot CD'=32\cdot50=1600$ . При $$AC=CB$$ получаю $$CB=40$$ и $$AB=80$$ — то же.

Ответ

Другие задания по теме «Касательная, хорда, секущая» (8)