Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042279

Пусть $A$ — вершина угла, $O$ — центр окружности, $B$ — точка касания с одной из сторон угла.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB\perp AB$ и треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при $B$.

Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон угла и потому лежит на его биссектрисе. Значит, $\angle OAB=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $OB=7{,}5$ лежит против угла $30^\circ$, а гипотенуза — искомый отрезок $AO$:

$$AO=2\cdot OB=2\cdot7{,}5=15.$$

Проверка через синус: $\sin\angle OAB=\dfrac{OB}{AO}=\dfrac{7{,}5}{15}=0{,}5=\sin30^\circ$ — верно.