Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042278

Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — хорда, $K$ — её середина. Тогда $AK=KB=\dfrac{48}{2}=24$, а $OA=OB=26$ — радиусы.

Треугольник $AOB$ равнобедренный, $OK$ — его медиана к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой, поэтому $OK\perp AB$, и треугольник $AOK$ прямоугольный с гипотенузой $OA$.

По теореме Пифагора:

$$OK^2=OA^2-AK^2=26^2-24^2=(26-24)(26+24)=2\cdot50=100,\qquad OK=10.$$

Проверка: $10^2+24^2=100+576=676=26^2$ — катеты и гипотенуза согласованы. И $10\lt26$: середина хорды лежит внутри круга, ближе к центру, чем окружность.