Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042277

$AK$ и $BD$ — медианы, значит, $K$ — середина $BC$, $D$ — середина $AC$, а $L$ — точка пересечения медиан. Она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины: $AL:LK=2:1$, то есть $AL=\dfrac23AK$.

Обозначу площадь треугольника $ABC$ через $S$. Медиана $AK$ делит треугольник на две части равной площади, поэтому $S_{ACK}=\dfrac S2$.

Треугольники $ADL$ и $ACK$ имеют общий угол при вершине $A$. Площади таких треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол:

$$\dfrac{S_{ADL}}{S_{ACK}}=\dfrac{AD\cdot AL}{AC\cdot AK}=\dfrac12\cdot\dfrac23=\dfrac13.$$

Значит, треугольник $ADL$ — это треть треугольника $ACK$, а оставшийся четырёхугольник $KCDL$ — две трети:

$$S_{KCDL}=\dfrac23S_{ACK}=\dfrac23\cdot\dfrac S2=\dfrac S3.$$

По условию $\dfrac S3=5$, откуда $S=15$.

Проверю другим способом. Три медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади $\dfrac S6$. Если провести отрезок $LC$, четырёхугольник $KCDL$ распадётся ровно на два из них — $LKC$ и $LCD$. Значит, $S_{KCDL}=\dfrac{2S}{6}=\dfrac S3$, и снова $S=3\cdot5=15$.