Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042275

Выражу все стороны через одну букву. Пусть $AB=x$, тогда из $2AC=3AB$ получаю $AC=\dfrac32x$, а из $3BC=4AB$ — $BC=\dfrac43x$.

Точка $D$ лежит на $BC$, и $AD$ — биссектриса угла $A$. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{x}{\frac32x}=\dfrac23.$$

Значит, $BD=\dfrac25BC=\dfrac25\cdot\dfrac43x=\dfrac{8}{15}x$.

Точка $Q$ лежит на биссектрисе угла $B$, поэтому $BQ$ — биссектриса треугольника $ABD$. В нём она делит сторону $AD$ в отношении прилежащих сторон $AB$ и $BD$:

$$\dfrac{AQ}{QD}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{x}{\frac{8}{15}x}=\dfrac{15}{8}.$$

Значит, $QD$ составляет $\dfrac{8}{15+8}=\dfrac{8}{23}$ отрезка $AD$.

Треугольники $BQD$ и $BAD$ имеют общую вершину $B$, а их основания $QD$ и $AD$ лежат на одной прямой, поэтому площади относятся как основания: $S_{ABD}=\dfrac{23}{8}\cdot S_{BQD}=\dfrac{23}{8}$.

Треугольники $ABD$ и $ABC$ имеют общую вершину $A$, а основания $BD$ и $BC$ на одной прямой:

$$S_{ABC}=\dfrac{BC}{BD}\cdot S_{ABD}=\dfrac{\frac43x}{\frac{8}{15}x}\cdot\dfrac{23}{8}=\dfrac52\cdot\dfrac{23}{8}=\dfrac{115}{16}.$$

Перевожу в десятичную дробь: $\dfrac{115}{16}=7{,}1875$.

Проверю отношение $AQ:QD$ другим способом. $Q$ — точка пересечения биссектрис, то есть центр вписанной окружности, а он делит биссектрису $AD$ в отношении суммы прилежащих к $A$ сторон к противолежащей: $\dfrac{AQ}{QD}=\dfrac{AB+AC}{BC}=\dfrac{x+\frac32x}{\frac43x}=\dfrac52\cdot\dfrac34=\dfrac{15}{8}$ — совпадает. Численно на треугольнике со сторонами $6$, $9$, $8$ доля $\dfrac{S_{BQD}}{S_{ABC}}=\dfrac25\cdot\dfrac{8}{23}=\dfrac{16}{115}$, что и даёт $S_{ABC}=\dfrac{115}{16}$.