Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042274

Буду переходить от большого треугольника к меньшим: $ABC\to ABD\to BDE$.

Треугольники $ABD$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$, а их основания $AD$ и $AC$ лежат на одной прямой. Высота из $B$ у них общая, поэтому площади относятся как основания.

Пусть $DC=y$, тогда $AD=3y$ и $AC=4y$, то есть $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac34$. Значит, $S_{ABD}=\dfrac34\cdot8=6$.

Теперь треугольники $BDE$ и $ABD$: общая вершина $D$, основания $BE$ и $AB$ на одной прямой. Так как $AE=BE$, точка $E$ — середина $AB$, и $\dfrac{BE}{AB}=\dfrac12$. Поэтому $S_{BDE}=\dfrac12\cdot6=3$.

Проверю через формулу площади с синусом. $S_{ADE}=\dfrac12\cdot AE\cdot AD\cdot\sin A=\dfrac12\cdot\dfrac{AB}{2}\cdot\dfrac{3AC}{4}\cdot\sin A=\dfrac38\cdot\left(\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\right)=\dfrac38\cdot8=3$. Тогда $S_{BDE}=S_{ABD}-S_{ADE}=6-3=3$ — то же самое.