Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042273

Для любой стороны треугольника произведение этой стороны на проведённую к ней высоту равно удвоенной площади. Поэтому чем короче сторона, тем длиннее высота: наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, $13$.

Площадь найду по формуле Герона. Полупериметр $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$, тогда

$$S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84.$$

Большая высота: $h=\dfrac{2S}{13}=\dfrac{168}{13}=12\dfrac{12}{13}\approx12{,}92$.

Округляю до целых: $12{,}92$ ближе к $13$, чем к $12$. Получаю $13$.

Проверю площадь без формулы Герона. Опущу высоту на сторону $14$ и обозначу через $x$ отрезок от её основания до конца стороны, прилегающего к стороне $13$. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$, то есть $169-x^2=225-196+28x-x^2$, откуда $28x=140$, $x=5$. Высота $\sqrt{169-25}=12$, площадь $\dfrac12\cdot14\cdot12=84$ — совпадает.