Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042272

Пусть коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен $k$: каждая сторона первого в $k$ раз длиннее соответствующей стороны второго.

Тогда произведение трёх сторон первого треугольника в $k\cdot k\cdot k=k^3$ раз больше произведения сторон второго:

$$6\cdot9\cdot12=k^3\cdot24\quad\Longrightarrow\quad 648=24k^3\quad\Longrightarrow\quad k^3=27,\ k=3.$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2=9$.

Проверю. Стороны второго треугольника: $6:3=2$, $9:3=3$, $12:3=4$, их произведение $2\cdot3\cdot4=24$ — как в условии. По формуле Герона под корнем у первого треугольника стоит $13{,}5\cdot7{,}5\cdot4{,}5\cdot1{,}5$, а у второго $4{,}5\cdot2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5$ — каждый множитель втрое меньше, поэтому подкоренное выражение меньше в $3^4=81$ раз, а площадь — в $\sqrt{81}=9$ раз. Сходится.