Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042271

Пусть $D$ — середина $AB$, $E$ — середина $BC$, $F$ — середина $AC$. Тогда каждый из отрезков $DE$, $EF$, $DF$ соединяет середины двух сторон, то есть является средней линией треугольника $ABC$.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: $DE=\dfrac12AC$, $EF=\dfrac12AB$, $DF=\dfrac12BC$.

Все три стороны треугольника $DEF$ вдвое меньше соответствующих сторон треугольника $ABC$, поэтому треугольники подобны по трём сторонам с коэффициентом $\dfrac12$.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента:

$$\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=2^2=4.$$

Проверю разрезанием. Средние линии отрезают у вершин три треугольника $ADF$, $DBE$, $FEC$. Каждый подобен $ABC$ с коэффициентом $\dfrac12$ (например, у $ADF$ стороны $AD=\dfrac12AB$, $AF=\dfrac12AC$ и общий угол $A$), значит, его площадь тоже равна $\dfrac14S_{ABC}$. Вместе с $DEF$ получается $4\cdot\dfrac14S_{ABC}=S_{ABC}$ — сходится.