Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042267

Обозначу $\angle ABC=\alpha$ и $\angle AHB=\beta$. По условию $\alpha+\beta=\pi$, то есть $180^\circ$.

Углы $AHB$ и $BHC$ смежные, поэтому $\angle BHC=180^\circ-\beta=\alpha$. Получается, что $\angle BHC=\angle ABC$.

У треугольников $BHC$ и $ABC$ общий угол $C$ и равные углы $\angle BHC=\angle ABC$, значит, они подобны по двум углам. Соответствие вершин: $H\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$.

Сторону $BC$ найду по теореме косинусов в треугольнике $BHC$, где известны $BH=3$, $HC=2$ и $\cos C=\dfrac{11}{16}$:

$$BH^2=HC^2+BC^2-2\cdot HC\cdot BC\cdot\cos C,$$

$$9=4+BC^2-2\cdot2\cdot BC\cdot\dfrac{11}{16}=4+BC^2-\dfrac{11}{4}BC.$$

Умножаю на $4$ и переношу всё в одну сторону: $4BC^2-11BC-20=0$. Дискриминант $121+4\cdot4\cdot20=441=21^2$, корни $BC=\dfrac{11+21}{8}=4$ и $BC=\dfrac{11-21}{8}\lt0$. Длина положительна, поэтому $BC=4$.

Коэффициент подобия треугольника $ABC$ к треугольнику $BHC$: стороне $BC$ большого треугольника соответствует сторона $HC$ маленького, поэтому $k=\dfrac{BC}{HC}=\dfrac42=2$.

Тогда $AB=k\cdot BH=2\cdot3=6$ и $AC=k\cdot BC=2\cdot4=8$. Отсюда $AH=AC-HC=8-2=6$.

Периметр треугольника $ABH$: $AB+BH+AH=6+3+6=15$.

Проверю найденные стороны теоремой косинусов в треугольнике $ABC$: $AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C=64+16-2\cdot8\cdot4\cdot\dfrac{11}{16}=80-44=36$, то есть $AB=6$ — совпадает.