Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042265

Прямая $BD$ разрезает треугольник $ABC$ на треугольники $ABD$ и $CBD$. Углы $ADB$ и $CDB$ при точке $D$ смежные, их сумма $180^\circ$.

Сначала докажу, что $BD$ — высота. У подобных треугольников одинаковые наборы углов, поэтому если в одном есть тупой угол, то и в другом он есть.

Пусть угол $ADB$ тупой. Тогда треугольник $ABD$ тупоугольный. Но в треугольнике $CBD$ угол $CDB$ острый (он дополняет тупой до $180^\circ$), угол $C$ не тупой по условию, а угол $DBC$ — часть угла $ABC$, который тоже не тупой. Тупого угла у $CBD$ нет — противоречие с подобием.

Пусть угол $ADB$ острый. Тогда угол $CDB$ тупой, а в треугольнике $ABD$ тупого угла нет (угол $A$ не тупой, угол $ABD$ — часть не тупого угла $B$). Снова противоречие.

Значит, $\angle ADB=\angle CDB=90^\circ$, и $BD$ — высота.

Теперь прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBD$ подобны, то есть их острые углы попарно равны. Возможны два варианта: $\angle A=\angle C$ или $\angle A=\angle DBC$.

Если $\angle A=\angle C$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и высота $BD$ является медианой: $AD=DC$. Но по условию $AD=\dfrac34AC$, а $DC=\dfrac14AC$ — они не равны. Этот вариант отпадает.

Значит, $\angle A=\angle DBC$. Тогда в треугольнике $ABD$ катет $AD$ лежит напротив угла $ABD$, равного углу $C$, а в треугольнике $BDC$ напротив угла $C$ лежит катет $BD$; катет $BD$ первого треугольника лежит напротив угла $A$, а во втором напротив равного ему угла $DBC$ лежит $DC$. Получаю пропорцию:

$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{BD}{DC}\quad\Longrightarrow\quad BD^2=AD\cdot DC.$$

Пусть $DC=x$, тогда $AD=3x$, $BD^2=3x\cdot x=3x^2$, $BD=\sqrt3\,x$.

В прямоугольном треугольнике $ABD$: $\operatorname{tg}\angle BAC=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{\sqrt3\,x}{3x}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит, $\angle BAC=30^\circ$.

Проверю. При $x=1$: $AD=3$, $DC=1$, $BD=\sqrt3$, тогда $AB=\sqrt{9+3}=2\sqrt3$, $BC=\sqrt{1+3}=2$, $AC=4$. Так как $AB^2+BC^2=12+4=16=AC^2$, угол $B$ прямой, углы $A$ и $C$ равны $30^\circ$ и $60^\circ$ — тупых углов нет. Треугольник $ABD$ имеет углы $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, треугольник $BDC$ — угол $C=60^\circ$, $\angle DBC=30^\circ$ и прямой угол $D$: они подобны, все условия выполнены.