Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042264

Высота $CD$ делит прямоугольный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ACD$ и $CBD$. Оба подобны треугольнику $ABC$: у $ACD$ с ним общий угол $A$, у $CBD$ — общий угол $B$, и у всех трёх есть прямой угол.

У подобных треугольников все линейные размеры — стороны, высоты, радиусы вписанных окружностей — отличаются в одно и то же число раз. Гипотенуза треугольника $ACD$ — это $AC$, гипотенуза треугольника $CBD$ — это $BC$, гипотенуза $ABC$ — это $AB$. Поэтому радиусы относятся как гипотенузы:

$$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}.$$

Пусть $AC=3t$, $BC=4t$. По теореме Пифагора $AB=\sqrt{9t^2+16t^2}=\sqrt{25t^2}=5t$.

Обозначу через $r$ радиус окружности, вписанной в сам треугольник $ABC$. По той же причине $\dfrac{r}{AB}=\dfrac{3}{AC}$, откуда $r=3\cdot\dfrac{5t}{3t}=5$.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен $\dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Для треугольника $ABC$: $r=\dfrac{3t+4t-5t}{2}=t$. Значит, $t=5$.

Гипотенуза $AB=5t=25$.

Проверю оба радиуса из условия. При $t=5$: $AC=15$, $BC=20$, $AB=25$. Высота $CD=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{300}{25}=12$, отрезки гипотенузы $AD=\dfrac{AC^2}{AB}=\dfrac{225}{25}=9$ и $BD=25-9=16$.

Треугольник $ACD$: катеты $9$ и $12$, гипотенуза $15$, радиус $\dfrac{9+12-15}{2}=3$. Треугольник $CBD$: катеты $16$ и $12$, гипотенуза $20$, радиус $\dfrac{16+12-20}{2}=4$. Оба совпадают с условием.