Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042263

Обозначу треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Пусть $S_{BCH}=6$ и $S_{ACH}=54$.

Треугольники $ACH$ и $CBH$ прямоугольные (угол при $H$ прямой) и подобны: угол $ACH$ дополняет угол $A$ до $90^\circ$, как и угол $B$, поэтому $\angle ACH=\angle B$, а $\angle BCH=\angle A$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $k^2=\dfrac{54}{6}=9$, значит, $k=3$ — каждая сторона треугольника $ACH$ втрое длиннее соответствующей стороны треугольника $CBH$.

Пусть $BH=x$. В треугольнике $CBH$ катет $BH$ лежит напротив угла $BCH$, равного углу $A$; в треугольнике $ACH$ напротив угла $A$ лежит катет $CH$. Значит, $CH=3x$.

Катет $CH$ треугольника $CBH$ лежит напротив угла $B$; в треугольнике $ACH$ напротив равного ему угла $ACH$ лежит катет $AH$. Значит, $AH=3\cdot CH=9x$.

Найду $x$ из площади треугольника $CBH$:

$$\dfrac12\cdot BH\cdot CH=6\quad\Longrightarrow\quad\dfrac12\cdot x\cdot3x=6\quad\Longrightarrow\quad x^2=4,\ x=2.$$

Гипотенуза складывается из двух отрезков: $AB=AH+BH=9x+x=10x=20$.

Проверка: $CH=6$, $AH=18$, $S_{ACH}=\dfrac12\cdot18\cdot6=54$ — как в условии. Площадь всего треугольника $\dfrac12\cdot AB\cdot CH=\dfrac12\cdot20\cdot6=60=6+54$ — тоже сходится.