Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042262

Высота $CD$ проведена из вершины прямого угла $C$ и делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ADC$ и $CDB$ с прямыми углами при точке $D$.

Покажу, что они подобны. В треугольнике $ADC$ угол $ACD$ дополняет угол $A$ до $90^\circ$. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тоже дополняет угол $A$ до $90^\circ$. Значит, $\angle ACD=\angle B$, и прямоугольные треугольники $ADC$ и $CDB$ подобны по острому углу.

Сопоставлю стороны по равным углам. Напротив угла $ACD$ в первом треугольнике лежит $AD$, напротив равного ему угла $B$ во втором — $CD$. Напротив угла $A$ в первом лежит $CD$, напротив равного ему угла $DCB$ во втором — $DB$. Получаю пропорцию:

$$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{DB}\quad\Longrightarrow\quad CD^2=AD\cdot DB.$$

Подставляю: $CD^2=9\cdot4=36$, значит, $CD=6$.

Проверю через площадь. Гипотенуза $AB=9+4=13$. Из подобия $ADC$ и $ACB$ получается $AC^2=AD\cdot AB=9\cdot13=117$, аналогично $BC^2=DB\cdot AB=4\cdot13=52$. Тогда удвоенная площадь $AC\cdot BC=\sqrt{117\cdot52}=\sqrt{6084}=78$, и высота к гипотенузе $CD=\dfrac{78}{13}=6$ — то же самое.