Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042261

Высота $CD$ отрезает от прямоугольного треугольника $ABC$ меньший прямоугольный треугольник $ADC$, и он подобен исходному.

Сравню треугольники $ADC$ и $ACB$. Угол $A$ у них общий, а $\angle ADC=\angle ACB=90^\circ$. Значит, они подобны по двум углам. Катету $AD$ маленького треугольника соответствует катет $AC$ большого, а гипотенузе $AC$ маленького — гипотенуза $AB$ большого.

Записываю равенство отношений соответственных сторон:

$$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}.$$

Подставляю числа: $\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{AB}$, откуда $AB=\dfrac{5\cdot5}{2}=\dfrac{25}{2}=12{,}5$.

Проверю другим способом — через косинус угла $A$. В треугольнике $ADC$ с прямым углом $D$: $\cos A=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac25$. В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$: $\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{AB}$. Приравниваю: $\dfrac{5}{AB}=\dfrac25$, снова $AB=12{,}5$.

И прикидка: гипотенуза должна быть длиннее катета $AC=5$, а $12{,}5\gt5$ — согласуется.