Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042260

Стандартные обозначения: $BC=a=7$, $AC=b=5$, $AB=c=3$.

Начну с угла $A$. Теорема косинусов: $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{25+9-49}{30}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac12$, значит, $\angle A=120^\circ$, и биссектриса делит его на два угла по $60^\circ$.

Свойство биссектрисы: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$, поэтому $BD=\dfrac38\cdot7=\dfrac{21}{8}$ и $DC=\dfrac58\cdot7=\dfrac{35}{8}$.

Радиус описанной окружности треугольника $ABD$. В нём напротив стороны $BD$ лежит угол $BAD=60^\circ$. Теорема синусов:

$$R=\dfrac{BD}{2\sin60^\circ}=\dfrac{21/8}{\sqrt3}=\dfrac{21}{8\sqrt3}=\dfrac{7\sqrt3}{8}.$$

Радиус вписанной окружности треугольника $ACD$. Площадь $ABC$: $S=\dfrac12\cdot3\cdot5\cdot\sin120^\circ=\dfrac{15\sqrt3}{4}$. Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую высоту из $A$, поэтому их площади относятся как $BD:DC=3:5$, и $S_{ACD}=\dfrac58\cdot\dfrac{15\sqrt3}{4}=\dfrac{75\sqrt3}{32}$.

Длину $AD$ найду из той же площади: $S_{ACD}=\dfrac12\cdot AC\cdot AD\cdot\sin60^\circ=\dfrac{5\sqrt3}{4}AD$. Значит, $\dfrac{5\sqrt3}{4}AD=\dfrac{75\sqrt3}{32}$ и $AD=\dfrac{75}{32}\cdot\dfrac45=\dfrac{15}{8}$.

Полупериметр $ACD$: $p=\dfrac12\left(5+\dfrac{35}{8}+\dfrac{15}{8}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{90}{8}=\dfrac{45}{8}$. Радиус: $r=\dfrac{S_{ACD}}{p}=\dfrac{75\sqrt3}{32}\cdot\dfrac{8}{45}=\dfrac{5\sqrt3}{12}$.

Произведение.

$$Rr=\dfrac{7\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{5\sqrt3}{12}=\dfrac{35\cdot3}{96}=\dfrac{105}{96}=\dfrac{35}{32}=1{,}09375.$$

Проверка другими формулами. Квадрат биссектрисы: $AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=15-\dfrac{735}{64}=\dfrac{225}{64}$, $AD=\dfrac{15}{8}$ — совпало.

Радиус описанной окружности через $R=\dfrac{xyz}{4S}$: $S_{ABD}=\dfrac38\cdot\dfrac{15\sqrt3}{4}=\dfrac{45\sqrt3}{32}$, $R=\dfrac{3\cdot\frac{21}{8}\cdot\frac{15}{8}}{4\cdot\frac{45\sqrt3}{32}}=\dfrac{945/64}{45\sqrt3/8}=\dfrac{21}{8\sqrt3}$ — то же значение.